MESUT BIYIK - Probablite Uygulamaları

Uygulama 1:

Yarısı kadından diğer yarısı erkekten oluşan bir grup insan göz önüne alalım. Kadınların %20’si ve erkeklerin %60’ının hasta olduğunu var sayalım. Bu gruptan tesadüfen seçilen bir kişinin kadın veya hasta olma ihtimali nedir?

Gruptaki bütün insanların sayısı N olsun. K ‘kadın’ ve H ‘hasta’ olanları temsil etsin.

Erkeklerin ve kadınların sayıları ayrı ayrı N/2 olduğundan

Hasta sayısı:

0.20(N/2) + 0.60(N/2)=4.N/10 bulunur.

(N’nın tamsayı ve her şahsın seçilme şansının aynı olduğunu farz sayıyoruz.)

Böylece;

P(K)=1/2, P(H)=4/10,

P(H/K)=20/100 olur.

P(K n Y)=P(K).P(HIK)=[1/2] x[20/100] =[1/10]

Değerini,

P(A U B) )= P(A)+P(B)-(PA n B)

Teoremi

P(K U H) = P(K)+P(H)-(PK n H)

P(K U H)=1/2 + 4/10 – 1/10=8/10 bulunur.

2. Çözüm:

Grup toplam 100 kişi kadın sayısı=50 erkek sayısı=50 olsun. Hasta kadın sayısı %20 yani 10 ve hasta erkek sayısı %60 yani 30 olsun.

1) K ve H’nin beraberce gerçekleşme hal sayısı=n1

2) K gerçekleşsin H gerçekleşmesin hal sayısı =n2

3) H gerçekleşsin K gerçekleşmesin hal sayısı =n3

4) K ve H’nin gerçekleşmediği hal sayısı =n4

n1 =50*(20/100)=10 hasta kadın sayısı

n2=50*(80/100)=40 sağlam kadınlar

n3=50 – 30=20 sağlam erkekler (K yok, H yok)

K ve H’nin beraberce gerçekleşme ihtimali;

P(K.H)=P(K n H)

Şöyle hesaplanıyordu;

P(K n H)=n1/n=10/100=1/10

(Hasta ve Kadın).

K’nin gerçekleştiği hallerde H’nin gerçekleşmesi ihtimali (şartlı ihtimal)

P(H/K)=n1/(n+n2)=10/(10+40)=1/5

P(H/K)=P(K).P(H/K)

P(H.K)=1/2.1/5=1/10

(Hasta ve Kadın).

Problemlerde, 4. durum H ve K gerçekleşmiyor. 1, 2 ve 3. durumlarda K veya H gerçekleşiyor. O halde;

P(K+H)=P(K U H)=[n1+n2+n3]/n

P(K+H)=[10+40+30]/100 =8/10

bulunur...

Uygulama 2:

52’lik bir deste iskambil kâğıdından bir tek kart çekiliyor. Bu kartın kırmızı veya yüksek (10, J, Q, K, A) olması ihtimali nedir?

Bir destede,

Sinek sayısı : 13 (siyah) Kupa sayısı : 13 (kırmızı)

Maça sayısı : 13 (siyah) Karo sayısı : 13 (kırmızı)

olmak üzere bir destede 26 siyah ve 26 kırmızı kart vardır.

"K" kırmızı kart ihtimalini, "Y" yüksek kart ihtimalini göstersin.

P(K)= (26/52)=1/2

Her kart grubunda 5 adet yüksek kart vardır toplamda ise 20 adet yüksek kart mevcuttur.

O halde;

P(Y)=(20/52)=5/13

Bir kartın hem kırmızı hem de yüksek olması ihtimali ise;

P(K ∩ Y)= P(K) x P(Y)

P(K ∩ Y)= (20/52) x (1/2)

P(K ∩ Y)= 10/52

olur.

K ve Y olaylarından en az birinin gerçekleşmesi ihtimali (çekilen kartın kırmızı veya yüksek olması) ;

P(K U Y)= P(K)+P(Y)- P(K ∩ Y)

P(K U Y)= (1/2)+(5/13)-(10/52)

P(K U Y)= (36/52)

bulunur.

Uygulama 3:

Üç avcı bir tavşana aynı anda birer atış yapıyorlar. birinci avcının tavşanı vurma olasılığı (1/2), ikinci avcının vurma olasılığı (1/3) ve üçüncü avcının vurma olasılığı (1/4) olsun. Tavşanın vurulması ihtimali nedir?

Bu soruda en kısa yol tavşanın vurulmama ihtimalini 1'den çıkarmaktır. Bunun için bütün avcıların tavşanı vuramama ihtimalleri bulunup birbirleriyle çarpılmalıdır.

1. avcının tavşanı vuramama ihtimali =(1)-(1/2)=(1/2)

2. avcının tavşanı vuramama ihtimali =(1)-(1/3)=(2/3)

3. avcının tavşanı vuramama ihtimali =(1)-(1/4)=(3/4)

Hiçbir avcının tavşanı vuramama ihtimali =(1/2)x(2/3)x(3/4)=(1/4) bulunur.

Tavşanın vurulması ihtimali =(1)-(1/4)=(3/4) çıkar.